Differentiaaliyhtälöt ja Laplace

Tiede Tuukka Lehtonen Tammikuu 22, 2017 0 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Monet ilmiöt on kuvattu fysiikan yhtälöt. Kuinka paljon voit työntää iskunvaimennin tietyllä valtaa? Se riippuu siitä, kuinka pitkälle pelti on jo masentunut. Tällainen käytös on mallintaa yksi differentiaaliyhtälöiden; Laplace-menetelmä yksinkertaistaa ratkaisu nämä yhtälöt.

Ratkaiseminen differentiaaliyhtälöitä

Differentiaaliyhtälö on funktio f liuoksena. Dv on yleensä seuraavassa muodossa:
+ A3 * .... f '' '+ A2 * f' '+ A1 * f' + a0 * f + b = g
  • f - tietty toiminto
  • f '- johdannainen tämän toiminnon,
  • f '' ja f '' '- toinen ja kolmas derivaatta f

Korkein johdannainen, joka esiintyy vertailussa määrittää järjestyksen dv. Siksi edellä tapaus on 3rd asteen dv.
Laplace menetelmä helpottaa ratkaista dv. Laitoimme toiminto tällä menetelmällä - muuttujan x tai t - mennä toiseen funktion monimutkainen muuttuja s.
  • f -> F
  • f -> F

Monimutkainen muuttuja s on monimutkainen määrä, s koostuu todellinen osa ja kuvitteellinen osa:
  • s = + j * b

Jos meillä on DV muuttujan x tai t teemme seuraavasti:
  • Laplace-muunnos koko yhtälön: L -----> F * G = H
  • fix ratkaisu s-verkkotunnuksen: F = G / H
  • tulos funktio F uudelleen muuntaa takaisin alkuperäiseen verkkotunnuksen
  • (Toimittaa ratkaisu f tai f)

  • Joitakin yleisiä Laplace muunnokset ovat:
    Vertailu .... + a3 * f '' '+ A2 * f' '+ A1 * f' + a0 * b = f + g etsii s-verkkotunnuksen näin:
    • F * G = H

    F liuoksena, joka voidaan muuntaa f.
    Differentiaaliyhtälö
    Pyydä tietää, miten mekaaninen jousi käyttäytyy kun painat tai venyttää keväällä. Hooken lain mukaan voima, joka se kohdistaa KR keväällä ja venymä x kevään ovat suorassa suhteessa:
    • KR / X = C

    KR tarkoittaa voimaa, x venyttely, ja C lineaarinen suhde näiden kahden muuttujan.
    Yleensä kevät suspendoidaan mekaaninen rakenne ja liittyvät esineet, jotka ovat massaltaan ja / tai on tietty kitka ympäristön kanssa. Usein me vain tietää koko voimalla, joka vaikuttaa tiettyyn pisteeseen järjestelmässä. Käyttäytymistä koko järjestelmä on nyt riippuvainen ajasta.
    Keväällä varastoi kimmoenergiaa; kun jousi venytetty tai puristettu, ponnahtaa takaisin push jonkin verran voimaa palaamaan alkuperäiseen asentoonsa. Kuvaamaan kuvaamme edellä yhtälö tällä kertaa riippuva käyttäytyminen:
    KR / X = C, tai
    KR = c * x, eriyttää
    KR '= c * x'
    ilmaisu X "on venymä aikayksikköä kohti, tai nopeudella v.
    KR '= C * V
    .
    Johdannainen voima on suoraan verrannollinen nopeuteen venytyksen.
    •  --- KR '= C * V
    • KR ratkaisu

    Esimerkki

    Aseta mekaaninen keväällä tämän artikkelin alussa painetaan vakiovoimalla. Jousi on kiinnitetty maahan, ja on myös joitakin kitkaa ympäröivän ilman kanssa, tai muita mekaanisia osia. Me tiedämme, että koko järjestelmä koostuu kahdesta osasta: jousi, joka voi tallentaa kimmoenergiaa, ja kitka että on järjestelmä ympäristön kanssa.
    • kevät --- F '= c * v.
    • Kitka F --- / v = w

    Voidaan olettaa, että nopeus jousen-venymä on yhtä suuri kuin nopeus, jolla kitka liikkuu pitkin alueella. Termi W on kitkaa.
    Kun harjoitamme jatkuvaa voimassa jossain vaiheessa, voimme ottaa tämän askeleen toiminto:
    Fa = fa, t = 0.
    Nyt kuvata Laplace:
    • kevät ---------------- * s Fv = C * V
    • ----------- Kitka Fw / v = w
    • ------- Teho F = Fa / s

    Nyt ehdotetaan, että virtaa, virtalähteestä on jaettu kevään ja kitka jäsenet; sitten me lopulta löytää:
    • Y = F v = F *

    Eventjes katso yllä olevassa taulukossa, muutoksessa aikatasoon:
    y = F *)
    Kuviossa sekä nähdä askelfunktio Fa kuin voimassa keväällä y. Askelfunktio FA edustaa voimanlähteenä, jota voidaan jatkuvasti voimassa tiettyinä ajankohtina.
    Funktio y on joustava jousen voiman. Siitä hetkestä, että jousen painetaan, tallennetut virta kasvaa nopeasti ensin ja jonkin aikaa kuluu vähemmän ja vähemmän arvonnoususta virtalähteen Fa.
    Olimme itse asiassa kiinnostuneita venymän funktiona ajan. Sillä venymä pätee seuraava:
    • F / X = C, tai X = F / C = Y / C

    Venyttää keväällä näyttää y; se vain eroaa arvo kertoimella 1 / C. Painamalla tai siirtyminen keväällä aluksi mennä niin nopeasti, kevät on helppo painaa alkutilasta. Tämän jälkeen kasvu puristuspainuma tulee vähemmän ja vähemmän. Lisäksi jousi painetaan, sitä enemmän energiaa säästyy, ja kovemmin este.
    Erityinen hetki on osoitettu kuviossa katkoviivalla. Kun t = w / c, e-teho on täsmälleen yhtä suuri exp exp = 1 / e = 0,369. Tekijä) on täsmälleen sama kuin 0.63, toisin sanoen jousivoiman saavuttaa 63% arvosta vakiovoiman Fa. Arvo määrittää, kun tämä piste on saavutettu. Voimme myös sanoa, että käyttäytyminen suspension määritetään näitä kahta muuttujaa.
    (0)
    (0)